بخش بعدی                                  فهرست محتویات                                 دریافت نسخه PDF کتاب                              بخش قبلی

نقل مطالب این کتاب با ذکر منبع آزاد است. تمام حقوق مادی این کتاب برای مترجم محفوظ است.

Description: C:\Documents and Settings\kami\My Documents\beauty is truth\1503_files\image001.jpg

رابطه بین اوکتونیونها و گروههای لی استثنایی تنها یکی از روابط عجیبی است که مابین تعمیمهای مختلف کواترنیونها و فیزیک پیشرو امروزی وجود دارد. من قصد دارم تا آنجایی که امکان دارد این روبط را برای شما توضیح دهم، تا شما نیز ارزش بیمانند آنها را درک کنید. من کار خود را با یکی از قدیمیترین ساختارهای استثنایی در ریاضیات، که فرمول جمع دو مربع است، شروع میکنم.

یکی از این فرمولها بطور طبیعی از اعداد مختلط ناشی میشود. هر عدد مختلط یک ”نُرم[1]“ دارد، که عبارت است از مربع فاصله آن از مبداء.  قضیه فیثاغورث میگوید  نُرم x+iy میشود 2+y2 . قاعده ضرب اعداد مختلط، آنگونه که توسط وسل، آرگاند، گاوس و همیلتون بیان شده، به ما نشان میدهد که نُرم دارای ویژگی بسیار قشنگی است. اگر شما دو عدد مختلط را در هم ضرب کنید، آنگاه نُرم این حاصل ضرب، با حاصل ضرب نُرم آنها در یکدیگر مساوی است. بصورت جبری میتوانیم آن را چنین بیان کنیم: (x2+y2)(u2+v2)=(xv+yu)2+(xu-yu)2.  مجموع دو مربع ضربدر مجموع دو مربع دیگر همیشه برابر است با مجموع دو مربع. این حقیقت از سالها قبل برای ریاضیدان هندی براهماگوپتا که حدود 650 میلادی زندگی میکرد معلوم بود.

نخستین نظریهپردازان اعداد از مجموع دو مربع شگفت زده بودند، زیرا آنها دو نوع مختلف از اعداد اول را شناخته بودند. خیلی ساده میتوان ثابت کرد که اگر یک عدد فرد مجموع دو مربع باشد، آنگاه این عدد باید بصورت 4k+1 باشد، که در آن k یک عدد صحیح است. باقی اعداد فرد، که بصورت 4k+3 هستند، نمیتوانند بصورت مجموع دو مربع نمایش داده شوند. ولی این درست نیست که هر عددی که به صورت  4k+1 باشد مجموع دو مربع باشد، حتی اگر یکی از این مربعها صفر باشد. اولین استثنا عدد 21 است.

فرما کشف خیلی زیبایی را انجام داد: این استثناها بههیچ وجه نمیتوانند اعداد اول باشند. او عکس این را ثابت کرد، به این صورت که هر عدد اول که به شکل 4k+1 باشد، مجموع دو مربع است. با کاربرد فرمول فوق برای ضرب مجموع دو مربع در یکدیگر، معلوم میشود که یک عدد فرد مجموع دو مربع است اگر، و فقط اگر، هر عامل اولی که بصورت 4k+3  ظاهر میشود به توان یک عدد زوج برسد. برای نمونه، 45=32+62 مجموع دو مربع است. عوامل اول این عدد بصورت 3×3×5 است، و عامل اول 3، که شکلی از 4k+3 است که در آن k=0 است، بصورت توان دو ظاهر شده است (3×3×5=32×51) که 2 هم عددی زوج است. عامل 5، بصورت توان فرد ظاهر شده، ولی 5 عدد فردی است که به شکل 4k+1 است (k=1)، بنابراین مشکلی را بوجود نمیآورد.

از سوی دیگر، در مورد 21 که مورد خاصی بحساب میآید، این عدد برابر 3×7 است، که هر دو عامل آن اعدادی اولی هستند که بصورت 4k+3 نمایش داده میشوند، و هر دو آنها بصورت توان 1 ظاهر شدهاند، که 1 هم فر است، بنابراین به همین دلیل است که 21 در قضیه صدق نمیکند. به همین ترتیب، تعداد بینهایتی از اعداد دیگر نیز هستند که در قضیه فوق صدق نمیکنند.

بعداً لاگرانژ از روشهای مشابهای استفاده کرد تا ثابت کند هر عدد صحیح مثبت، مجموع چهار مربع است (که هر کدام از آنها صفر هم میتوانند باشند). در اثباتی که او ارائه داد، از فرمول ماهرانهای استفاده کرد که در سال 1750 توسط اویلر کشف شده بود. این فرمول نیز شبیه موردی است که قبلاً ذکر شد، با این تفاوت که در آن مجموع 4 مربع ظاهر میشود. حاصلضرب یک مجموع چهار مربع، ضرب در یک مجموع چهار مربع دیگر، خود برابر جمع چهار مربع است. هیچ فرمول مشابهای برای جمع 3 مربع وجود ندارد، زیرا جفتهایی از اعداد وجود دارند که جمع سه مربع هستند ولی در مورد حاصل ضرب آنها اینطور نیست. ولی در 1818 شخصی بنام دِگِن[2] فرمولی برای حاصل ضرب مجموع هشت مربع در  مجموع دیگری از هشت مربع پیدا کرد. این همان فرومولی است که گاروز با استفاده از اکتونیونها پیدا کرده بود. کشف اوکتونیونها که ابتدا توسط گاروز بیچاره انجام گرفته بود، به شخص دیگری نسبت داده شد (کایلی)، و کشف دیگر او، یعنی فرمول هشت مربع، که معلوم شد دراصل کار او نبود، به وی نسبت داده شد.

یک فرمول بدیهی نیز برای مجموع یک مربع وجود دارد، که بصورت x2y2=(xy)2. این فرمول همان کاری را برای اعداد حقیقی میکند که فرمول دو-مربع برای اعداد مختلط انجام میدهد، یعنی ثابت میکند که نُرم ”حالت ضربی“ دارد، یعنی نرم یک حاصل ضرب، برابر است با حاصل ضرب نُرمهای آن. بار دیگر تکرار میکنم که نُرم عبارت است از فاصله از مبداء.  علامت عدد تاثیری در نرم آن ندارد، و نُرم مثبت یا منفی یک عدد با هم مساوی است.

ولی در مورد فرمول چهار-مربع چطور؟ این فرمول نیز همین کار را برای کواترنیونها انجام میدهد. فرمول چهار بعدی قضیه فیثاغورث (بله درست است، چنین فرمولی وجود دارد) به ما میگوید یک کواترنیون که صورت کلی آن به این شکل است: x+iy+jz+kw دارای نُرمی بشکل x2+y2+z2+w2 میباشد، یعنی مجموعی از چار مربع. نُرم کواترنیونها نیز حالت ضربی دارد، و همین مسئله فرمول چهار-مربع لاگرانژ را توضیح میدهد.

حالا شما احتمالاً میدانید که من قصد دارم بعد از این چه چیزی را مطرح کنم. فرمول دِگِن برای هشت-مربع نیز دارای همین تعبیر برای اوکتونیونها است. نرم اوکتونیونها نیز خاصیت ضربی دارد.

چیز عجیبی در اینجا در جریان است. ما چهار دستگاه اعداد داریم که هر یک از دیگری کاملتر است: اعداد حقیقی، اعداد مختلط، کواترنیونها، و اوکتونیونها. آنها بترتیب دارای ابعاد 1 ، 2، 4، و 8 هستند. ما فرمولهایی در اختیار داریم که میگوید مجموعی از مربع اعدد ضرب در مجموع دیگری از مربع اعداد دیگر، خودش مجموعی از مربعها را تشکیل میدهد. این قاعده برای مربعهای با تعداد 1، 2، 4، و 8 صادق است. فرمولها بطور نزدیکی با دستگاههای اعداد رابطه دارند. از آن جالبتر الگوی اعداد است... ابتدا 1 بعد 2 بعد 4 و بعد 8 . چه چیزی بعد از اینها میآید؟

بخش بعدی                                  فهرست محتویات                                 دریافت نسخه PDF کتاب                              بخش قبلی

نقل مطالب این کتاب با ذکر منبع آزاد است. تمام حقوق مادی این کتاب برای مترجم محفوظ است.

 



[1] - norm

[2] - Degen